初等函数Gi(x)(i从1到n)积恒等于0,一定存在k,使Gk(x)恒等于0吗?

马力

QUOTE:

以下是引用颦颦在2006-8-2 19:29:34的发言：

QUOTE:

以下是引用心凌之息在2006-8-2 16:03:40的发言：
不知道对不对。如果没有Gk（x）＝0那么那么Gi（x）的积的根为有限个，不可能

sinx的根就有无限个.我做到的原题是证明不存在n+1个不全为0多项式的实系数多项式Pi使P0(x)y^n+P1(x)y^(n-1)+……+Pn(x)=0恒成立,其中y=sinx,答案是先证Pn=0,令Xm=kπ+π/m趋向于kπ,得到Pn-1=0,以次类推,但我觉得这样证怪怪的,不自然

即证 sin x 不是环R[x]上整元素。可证如下更强的：

命题：sin x 不是环C[x]上整元素。

证明：反证法，假设不然。由 cos x = 1-2(sin x/2)^2 知 cos x 亦为C[x]上整元素。于是 exp(x) = cos(ix) - isin(ix) 亦为C[x]上整元素。写 Fn(x)exp(nx) + …… + F0(x) = 0，其中Fi(x)属于C[x]，Fn(x)=Am x^m + …… + A0，且Am不为0。

上式除以exp(nx)x^m，再令x沿正实轴趋于无穷，左边极限为Am，而右边恒为0，矛盾。

颦颦

QUOTE:

以下是引用马力在2006-8-3 16:23:52的发言：

问题：设初等函数G1，……，Gn在某开区间A上有定义，且它们的积在A上恒为零。求证：G1，……，Gn中至少有一个在A上恒为零。

证明：在A中任一点附近将各Gi展为幂级数。假设它们均非零，则均有最低非零幂次x^mi，于是x^(m1+……+mn)是它们的积的最低非零幂次。这与其恒为零矛盾！

这个证法好,让我想到一个人叫高斯

颦颦

某天想到一个证法,不知道对不对

反设都是非0初等函数,一定可以把所有的根一一列举出来,而任何一段实数集都是不可列的,就矛盾了

马力

这个我想过。你的依据实际上是：

问题：非零初等函数的零点是至多可数的。

然而这是不容易证明的……至少我觉得不容易。

比如，很难说明：两个只有至多可数零点的初等函数，它们的和（如果不恒为零）为什么也只有可数零点？

当然我相信这个定理是对的，但其证明（也许）同样需要零点孤立定理。

金尧

QUOTE:

以下是引用颦颦在2006-8-3 18:59:39的发言：

QUOTE:

以下是引用马力在2006-8-3 16:23:52的发言：

问题：设初等函数G1，……，Gn在某开区间A上有定义，且它们的积在A上恒为零。求证：G1，……，Gn中至少有一个在A上恒为零。

证明：在A中任一点附近将各Gi展为幂级数。假设它们均非零，则均有最低非零幂次x^mi，于是x^(m1+……+mn)是它们的积的最低非零幂次。这与其恒为零矛盾！

这个证法好,让我想到一个人叫高斯

我认识高斯也~

他似乎跟他老婆感情不和.

billy

3楼有道理

颦颦

突然想起来小时侯思考的这个问题

它是有反例的(由马力小朋友给出)

G1=(x^2)^(1/2)+x,G2=(x^2)^(1/2)-x

helios_zzl

幂函数在作为初等函数的时候，定义域为非负实数。

所以，G2=0

还不是反例

颦颦

哇,感动...

林一猜想有可能是对的了~

一个问题,某个初等函数的形式幂级数是不是在定义域内表达式唯一?

马力

实际上我给的反例是：
G1=(x*x)^(1/2)+x     G2=(x*x)^(1/2) - x
在所有实数上都有定义。

林洁小朋友转述错了。

勇气les

不对。sin(1/x)的根有无穷个。

.....这是初等函数吗？

勇气les

不对。sin(1/x)的根有无穷个。

他是初等函数吗？

KBevis

哦！马力出现了

helios_zzl

QUOTE:

以下是引用颦颦在2007-2-12 14:22:29的发言：

哇,感动...

林一猜想有可能是对的了~

一个问题,某个初等函数的形式幂级数是不是在定义域内表达式唯一?

形式幂级数通常不具有分析意义，也就是不知道是否再定义域内收敛。

泰勒展开的级数的话带上Lagrange余项是唯一的。不过在忽略余项的时候，两个展开式相等并不能得到函数相等（比如0 & exp(-1/x^2))

如果题设条件当中是解析函数的话，应该就是正确的了。