马力进，问你一道题

UnknownZero · 发表于 2006-3-3 21:53:58

A，B为方阵

求证：

(AB)*=B*A*

helios_zzl · 发表于 2006-3-4 03:39:57

*指代转置还是求逆啊，尽管都是这个公式，但是做法不同

Danny111 · 发表于 2006-3-4 02:04:28

谢谢你帮忙发了这道题目

希望有强人指点一下,否则下周五那个线性代数老师就要和我过不去了......

Danny111 · 发表于 2006-3-4 04:30:52

都不是啦,是伴随矩阵

这题目是要证明＂对方阵Ａ和Ｂ，Ａ与Ｂ乘积的伴随矩阵等于Ｂ的伴随矩阵乘以Ａ的伴随矩阵＂

难处在于要讨论当Ａ与Ｂ乘积的行列式等于０时怎么证明

Danny111 · 发表于 2006-3-4 04:33:44

当Ａ与Ｂ乘积的行列式不等于０时很容易做

用＂方阵与其伴随矩阵乘积等于它的行列式与对应单位矩阵乘积＂就可以了

马力 · 发表于 2006-3-4 06:12:30

设A、B是域F上方阵。

记A'=A+xI, B'=B+xI, 这里x是不定元，I表示n阶单位阵。

则A'、B'可看作F(x)上方阵，这里F(x)表示F上有理分式域（即F上多项式环F[x]的分式域）。

易知det(A')、det(B')均为n次多项式，故均非零。

你们已经知道，在这种情况下，有：(A'B')^* = (B’)^*(A’)^*。

即：((A+xI)( B+xI))^* = (B+xI)^*(A+xI)^*。

最后，在上式里代入x=0即可。

Danny111 · 发表于 2006-3-4 17:24:08

狂汗,似乎我们还没学到这么多,看不懂

只能下次问老师那个基础的,很麻烦的做法了

Danny111 · 发表于 2006-3-4 17:24:40

谢谢你费心做这题了

马力 · 发表于 2006-3-4 20:02:05

换个简单的说法。

这里假设所述方阵是实的或复的。

我们知道，一个多项式只有有限个根。

现在，设x(n)是一列趋于零的实（复）数列。

记A(n)=A-xI, B(n)=B-xI，则A(n)的行列式为零当且仅当x是A(n)的特征多项式的根。对于B(n)当然也一样。

于是，除去有限多项外，A(n)和B(n)的行列式都不为零。从而要证的结论对它们都是正确的。

最后只要让n趋于无穷，注意到此时A(n)的伴随阵趋于A的伴随阵，等等，就证完了。

这个叫做“微扰法”。

Danny111 · 发表于 2006-3-4 21:05:38

A(n)的特征多项式是什么样的？

Danny111 · 发表于 2006-3-4 20:47:33

好巧妙的证法啊

拿给老师看看，他肯定会傻了

马力 · 发表于 2006-3-4 22:07:12

……你们没学过吗？就是 A-xI 的行列式。

Danny111 · 发表于 2006-3-4 22:49:15

我刚学完第一章行列式和第二章矩阵，好象没学到这个

马力 · 发表于 2006-3-5 00:13:17

没学过也关系。

就是A-xI 的行列式，根据行列式的定义就可以看出，它是一个关于x的n次多项式。

Danny111 · 发表于 2006-3-5 04:34:45

想起来了,做题目时用过这种方法的

知道了,谢谢

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